Dans une grande cocotte ou un faitout à feu moyen, cuire les lardons coupés en dés pendant 6-8 minutes jusqu'à ce qu'ils soient croustillants et atteignent une température interne de 75°C. Retirer avec une écumoire et réserver sur du papier absorbant, en laissant la graisse rendue dans le pot.

Ajouter le beurre à la graisse de lardons, puis faire sauté l'oignon et le céleri pendant 5 minutes jusqu'à ce qu'ils soient ramollis. Ajouter l'ail et cuire encore une minute jusqu'à ce que cela soit parfumé.

Ajouter les dés de pommes de terre, le bouillon de poulet, le thym et la paprika fumée. Porter à ébullition, puis réduire le feu et laisser mijoter pendant 18-20 minutes jusqu'à ce que les pommes de terre soient tendres à la fourchette.

Pendant que la soupe mijote, préparer les œufs mollets. Porter une petite casserole d'eau à une forte ébullition. Baisser doucement les œufs dans l'eau et cuire pendant exactement 7 minutes pour un jaune coulant.

Transférer immédiatement les œufs dans un bain de glaçons pendant 3 minutes, puis soigneusement écaler et réserver.

À l'aide d'un presse-purée, écraser grossièrement environ la moitié des pommes de terre dans la soupe, en laissant quelques morceaux pour la texture. Ajouter le lait et la crème fraîche, réchauffer pendant 3-4 minutes sans bouillir.

Assaisonner la soupe avec du sel et du poivre selon le goût, puis ajouter la moitié du fromage cheddar en remuant jusqu'à ce qu'il soit fondu.

Verser la soupe dans quatre bols chauds. Couper les œufs mollets en deux et placer deux moitiés dans chaque bol. Garnir avec les lardons croustillants réservés, le cheddar restant et une généreuse quantité de ciboulette fraîche. Servir immédiatement.