Combinez l'huile d'olive, l'origan, le cumin, la paprika, la coriandre, la moitié de l'ail, le zeste de citron, le sel et le poivre dans un bol. Ajoutez les steaks d'agneau et enrobez-les complètement, en les laissant mariner pendant au moins 20 minutes.

Pour la tzatziki, râpez le concombre et pressez l'excès d'humidité avec un linge de cuisine propre. Mélangez avec le yaourt grec, l'ail restant, l'aneth, la menthe, 1 cuillère à soupe de jus de citron, le sel et le poivre. Réfrigérez jusqu'au moment du service.

Chauffez une poêle-gril ou une poêle à frire lourde à feu vif. Cuisinez les steaks d'agneau pendant 4-5 minutes de chaque côté jusqu'à ce que la température interne atteigne 63°C pour saignant ou 71°C pour bien cuit. Reposez pendant 5 minutes avant de trancher finement contre le grain.

Réchauffez les pains pita dans une poêle sèche ou un four bas pendant 1-2 minutes jusqu'à ce qu'ils soient mous et souples.

Assemblez les gyros en étalant généreusement la tzatziki à l'intérieur de chaque pita. Garnissez avec de l'agneau tranché, de l'oignon rouge, des tomates et des feuilles de salade de printemps.

Arrosez avec le jus de citron restant et servez immédiatement avec de la tzatziki supplémentaire à côté.